Câu 2.53 trang 77 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho hai số dương a và b .Chứng minh rằng...

Cho hai số dương a và b .Chứng minh rằng

a)${a^{\log b}} = {b^{\log a}};$                                        b) ${a^{lnb}} = {b^{\ln a}}.$

Giải

a) ${a^{\log b}} = {b^{\log a}} \Leftrightarrow \log {a^{\log b}} = \log {b^{\log a}}$

                       $\Leftrightarrow {\mathop{\rm logb}\nolimits} .{\mathop{\rm loga}\nolimits}  = {\mathop{\rm loga}\nolimits} .{\mathop{\rm logb}\nolimits}$

Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu cũng đúng.

b) 

${a^{\ln b}} = {b^{\ln a}} \Leftrightarrow \ln {a^{\ln b}} = \ln {b^{\ln a}}$

                       $\Leftrightarrow {\mathop{\rm lnb}\nolimits} .{\mathop{\rm ln a}\nolimits}  = {\mathop{\rm lna}\nolimits} .{\mathop{\rm lnb}\nolimits}$

Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu cũng đúng.