Câu 2.50 trang 77 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Biết...

a) Biết ${\log _7}12 = a$ , ${\log _{12}}24 = b$. Tính ${\log _{54}}168$ theo a và b.

b) Biết ${\log _6}15 = a$,${\log _{12}}18 = b$.Tính ${\log _{25}}24$ theo a và b.

Giải

a) ${\log _{54}}168 = {{{{\log }_7}168} \over {{{\log }_7}54}} = {{{{\log }_7}\left( {3.7.8} \right)} \over {{{\log }_7}\left( {{{2.3}^3}} \right)}} = {{{{\log }_7}3 + 1 + 3{{\log }_7}2} \over {{{\log }_7}2 + 3{{\log }_7}3}}$

Như vậy, để tính được ${\log _{54}}168$ qua a, b,c ta cần tính được ${\log _7}3$,${\log _7}2$ qua a, b .

Từ giả thiết $a = {\log _7}12$ , $b = {\log _{12}}24$, ta tính được ${\log _7}2$,${\log _7}3$ từ hệ phương trình

                                $\left\{ \matrix{ 2{\log _7}2 + {\log _7}3 = a \hfill \cr 3{\log _7}2 + {\log _7}3 = ab \hfill \cr}  \right.$     

b) ${\log _{25}}24 = {1 \over 2}{\log _5}24 = {3 \over 2}{\log _5}2 + {1 \over 2}{\log _5}3$

Ta cần tính ${\log _5}2$ và ${\log _5}3$ theo $a = {\log _6}15$ và $b = {\log _{12}}18$

Ta có $a = {\log _6}15 = {{{{\log }_5}15} \over {{{\log }_5}6}} = {{1 + {{\log }_5}3} \over {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}$        (1)

Ta có $b = {\log _{12}}18 = {{{{\log }_5}18} \over {{{\log }_5}12}} = {{{{\log }_5}2 + 2{{\log }_5}3} \over {2{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}$       (2)

Từ (1) và (2), ta tính được ${\log _5}2$ và ${\log _5}3$ theo a và b .