Câu 4.10 trang 178 SBT Giải Tích Nâng cao lớp 12: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số...

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

                            $\left| {{z \over {z - i}}} \right| = k$

(k là số thực dương cho trước)

Giải

Viết $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ thì

$\left| {{z \over {z - i}}} \right| = \left| {{{x + yi} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}}} \right| = k \Leftrightarrow {{{x^2} + {y^2}} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = {k^2}$

- Nếu $k = 1$  thì đẳng thức cuối này tương đương với $y = {1 \over 2}.$. Tập hợp cần tìm là đường thẳng $y = {1 \over 2}$ (đường trung trực của đoạn thẳng OI, I biểu diễn số i)

- Nếu $k \ne 1$ thì đẳng thức cuối đó tương đương với

${x^2} + {y^2} - 2{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}y + {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}} = 0$

Tức là tương đương với

${x^2} + {\left( {y - {{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right)^2} = {{{k^2}} \over {{{\left( {{k^2} - 1} \right)}^2}}}$

Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số ${{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}i,$ có bán kính bằng $\left| {{{{k^2}} \over {{k^2} - 1}}} \right|$