Advertisements (Quảng cáo)
a) Cho số phức \(\alpha \). Chứng minh rằng với mọi số phức z, ta có
\(z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z = {\left| {z + \alpha } \right|^2} – \alpha \bar \alpha \)
b) Từ câu a) hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn:
\(z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z + k = 0\)
Trong đó \(\alpha \) là số phức cho trước, k là số thực cho trước.
Giải
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({\left| {z + \alpha } \right|^2} – \alpha \overline \alpha = (z + a)\left( {\overline z + \overline \alpha } \right) – \alpha \overline \alpha \)
\(= z\overline z + \overline \alpha z + \alpha \overline z \)
b) \(z\overline z + \overline {\alpha }z – \alpha \overline z + k = 0 \Leftrightarrow {\left| {z +\alpha} \right|^2} = \alpha \overline \alpha – k\).
Vậy khi \(\alpha \overline \alpha – k = {R^2} > 0\), tập hợp cần tìm đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số \( – \alpha \), có bán kính bằng R > 0 ; khi \(k = \alpha \overline \alpha \), tập hợp cần tìm chỉ là một điểm ( biểu diễn số \( – \alpha \)) ; khi \(k > \alpha \overline \alpha \), tập hợp cần tìm là tập rỗng .