Câu 4.11 trang 178 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho số phức...

a) Cho số phức $\alpha$. Chứng minh rằng với mọi số phức z, ta có

$z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z = {\left| {z + \alpha } \right|^2} - \alpha \bar \alpha$

b) Từ câu a) hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn:

                               $z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z + k = 0$

Trong đó  $\alpha$ là số phức cho trước, k là số thực cho trước.

Giải

a) ${\left| {z + \alpha } \right|^2} - \alpha \overline \alpha   = (z + a)\left( {\overline z  + \overline \alpha  } \right) - \alpha \overline \alpha$

$= z\overline z  + \overline \alpha  z + \alpha \overline z$

b) $z\overline z  + \overline {\alpha }z  - \alpha \overline z  + k = 0 \Leftrightarrow {\left| {z +\alpha} \right|^2} = \alpha \overline \alpha   - k$.

Vậy khi $\alpha \overline \alpha   - k = {R^2} > 0$, tập hợp cần tìm đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số $- \alpha$, có bán kính bằng R > 0 ; khi $k = \alpha \overline \alpha$, tập hợp cần tìm chỉ là một điểm ( biểu diễn số $- \alpha$) ; khi $k > \alpha \overline \alpha$, tập hợp cần tìm là tập rỗng .