Câu 4.12 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời...

Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời

$\left| {{{z - 1} \over {z - i}}} \right| = 1$       và        $\left| {{{z - 3i} \over {z + i}}} \right| = 1$

Giải

Dễ thấy rằng tập hợp các điểm M của mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn $\left| {{{z - {z_0}} \over {z - {z_1}}}} \right| = 1 ({z_0},{z_1}$ là hai số phức phân biệt cho trước) là đường trung trực của đoạn thẳng ${A_0}{A_1} ({A_0},{A_1}$ theo thứ tự biểu diễn ${z_0},{z_1}$).

Vậy điều kiện $\left| {{{z - 1} \over {z - i}}} \right| = 1$ chứng tỏ điểm M biểu diễn số z phải nằm trên đường phân giác y = x ( viết $z = x + yi$   ($x,y \in R)$). Còn điều kiện $\left| {{{z - 3i} \over {z + i}}} \right| = 1$ chứng tỏ phần ảo của z phải bằng 1. Vậy z = 1 + i.