Câu 4.8 trang 177 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho vectơ...

Cho vectơ $\vec u,\vec u’$ trong mặt phẳng  phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.

a) Chứng minh rằng tích vô hướng $\vec u.\vec {u’}$ thỏa mãn

$\vec u.\vec {u’} = {1 \over 2}\left( {\bar zz’ + z\bar {z’}} \right)$

b)  Từ câu a) suy ra rằng nếu $\bar u \ne 0$ thì $\vec u,\vec {u’}$ vuông góc khi và chỉ khi ${{z’} \over z}$ là số ảo.

c) Chứng minh rằng $\vec u,\vec {u’}$ vuông góc khi và chỉ khi $\left| {z + z’} \right| = \left| {z - z’} \right|$

Giải

a) Viết $z = x + yi,z’ = x’ + y’i\left( {x,y,x’,y’ \in R} \right)$ thì $\overrightarrow u .\overrightarrow {u’}  = xx’ + yy’$  và  $\bar zz’ + z\bar{ z’} = \left( {x - yi} \right)\left( {x’ + y’i} \right) + \left( {x + yi} \right)\left( {x’ - y’i} \right)$

                  $= 2\left( {xx’ + yy’} \right)$

nên $\overrightarrow u .\overrightarrow {u’} = {1 \over 2}\left( {\bar zz’ + z\bar z’} \right)$

b) $\overrightarrow u .\overrightarrow {u’}  = 0 \Leftrightarrow \bar zz’ + z\bar {z’} = 0$, chia cả hai vế cho $z\bar z \ne 0,$ được

                                $\overrightarrow u .\overrightarrow {u’} = 0 \Leftrightarrow {{z’} \over z} + {\bar {z’}  \over{\overline z } } = 0$

                                $\Leftrightarrow {{z’} \over z} + \overline {\left( {{{z’} \over z}} \right)}  = 0 \Leftrightarrow {{z’} \over z}$ là số ảo.

c) $\left| {z + z’} \right| = \left| {z - z’} \right|$

$\Leftrightarrow \left( {z + z’} \right)\left( {\overline {z + z’} } \right) = \left( {z - z’} \right)\left( {\overline {z - z’} } \right)$

$\Leftrightarrow \bar zz’ + z\bar{ z’} = 0,$

nên câu a) nó tương đương với $\overrightarrow u .\overrightarrow {u’}= 0$ (Chú ý: khi $\overrightarrow u .\overrightarrow {u’}$ không cùng phương, tính chất cuối này tương đương với tính chất: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật)