Câu 4.7 trang 177 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn...

Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức ${z_0},{z_1}$ khác 0 thảo mãn đẳng thức $z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}$. Chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác đều (O là gốc tọa độ).

Giải

Ta có:

$\eqalign{& z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Rightarrow {z_0}\left( {{z_1} - {z_0}} \right) = z_1^2 \cr&\Rightarrow \left| {{z_0}} \right|\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = {\left| {{z_1}} \right|^2}  \cr & z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Rightarrow {z_1}\left( {{z_0} - {z_1}} \right) = z_0^2 \cr&\Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = {\left| {{z_0}} \right|^2} \cr}$

Vậy   $\left| {{z_1} - {z_0}} \right| = {{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}} \over {\left| {{z_0}} \right|}} = {{{{\left| {{z_0}} \right|}^2}} \over {\left| {{z_1}} \right|}},$ suy ra ${\left| {{z_0}} \right|^3} = {\left| {{z_1}} \right|^3}$

Do đó $\left| {{z_0}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} - {z_0}} \right|$  tức là OA = OB = AB (khác 0).

Vậy tam giác OAB là tam giác đều.