Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_0},{z_1}\) khác 0 thảo mãn đẳng thức \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}\). Chứng minh rằng tam giác OAB là tam giác đều (O là gốc tọa độ).
Giải
Ta có:
\(\eqalign{& z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Rightarrow {z_0}\left( {{z_1} – {z_0}} \right) = z_1^2 \cr&\Rightarrow \left| {{z_0}} \right|\left| {{z_1} – {z_0}} \right| = {\left| {{z_1}} \right|^2} \cr & z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Rightarrow {z_1}\left( {{z_0} – {z_1}} \right) = z_0^2 \cr&\Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_1} – {z_0}} \right| = {\left| {{z_0}} \right|^2} \cr} \)
Vậy \(\left| {{z_1} – {z_0}} \right| = {{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}} \over {\left| {{z_0}} \right|}} = {{{{\left| {{z_0}} \right|}^2}} \over {\left| {{z_1}} \right|}},\) suy ra \({\left| {{z_0}} \right|^3} = {\left| {{z_1}} \right|^3}\)
Do đó \(\left| {{z_0}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} – {z_0}} \right|\) tức là OA = OB = AB (khác 0).
Vậy tam giác OAB là tam giác đều.