Tính các tích phân sau đây:
a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(x + 1)\cos (x + {\pi \over 2}} )dx\)
b) \(\int\limits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{{\log }_2}(x + 1)dx} \)
c) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{x^2} – 1} \over {{x^4} + 1}}} dx\) (đặt \(t = x + {1 \over x}\))
d)\(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x – \cos 2x}}} \)
Hướng dẫn làm bài
a) – 2
b) \({1 \over {2\ln 2}}({1 \over 2} + {\ln ^2}2)\) . HD:\({{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{\log _2}(x + 1) = {1 \over {\ln 2}}{\rm{[}}x\ln (x + 1) + {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}}{\rm{]}}\)
c)\({1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 – \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\) . HD: Đặt \(t = x + {1 \over x}\) , ta nhận được:
\(\int\limits_{{5 \over 2}}^2 {{{dt} \over {{t^2} – 2}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}} \ln |{{t – \sqrt 2 } \over {t + \sqrt 2 }}|\left| {\matrix{2 \cr {{5 \over 2}} \cr} } \right. = {1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 – \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\)
d) \(\ln 2 – {1 \over 2}\) . HD: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x – \cos 2x}} = } \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin x.{{d(\sin x + 1)} \over {{{(\sin x + 1)}^2}}}} = \ln 2 – {1 \over 2}\)