Bài tập 34 trang 98 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2, Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của AC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu kẻ từ A và C đến các đường thẳng...

Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của AC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu kẻ từ A và C đến các đường thẳng BM.

Chứng minh: $AB < {{BE + BF} \over 2} < BC$

Xét ∆AEM vuông tại E và ∆MCF vuông tại F ta có:

AM = MC (M là trung điểm của AC)

Và $\widehat {EMA} = \widehat {CMF}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ∆AEM = ∆CFM (cạnh huyền – góc nhọn)

=> EM = MF

BE + BF = BE + BM + MF = BE + BM + EM (vì MF = EM)

= (BE + EM) + BM = BM + BM = 2BM

Do đó $BM = {{BE + BF} \over 2}(1)$

Mà $BA \bot AC$ tại A,

Mặt khác, ta có AM < AC => BM < BC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $AB < {{BE + BF} \over 2} < BC.$