Câu 53 trang 166 SBT Toán 8 tập 1: Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường...

Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng $l$ cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng $l$ theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo)

Gọi h₁ và h₂  là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng$l$;

Tổng khoảng cách là S. Vì O là tâm đối xứng của hình vuông.

⇒ OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: AM = CN

$\widehat {AMP} = \widehat {DNS}$ (đồng vị)

$\widehat {DNS} = \widehat {CNR}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CNR}$

Suy ra: ∆ APM = ∆ CRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP = h₂

AM = CD ⇒ BM = DN

$\widehat {BMQ} = \widehat {DNS}$ (so le trong)

Suy ra: ∆ BQM = ∆ DSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = h₁

$\eqalign{  & {S_{BOA}} = {1 \over 4}{S_{AOB}} = {1 \over 4}{a^2}(1)  \cr  & {S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} = {1 \over 2}{b \over 2}.{h_1} + {1 \over 2}{b \over 2}.{h_2} = {b \over 4}\left( {{h_1} + {h_2}} \right)(2) \cr}$

Từ (1) và (2): ${h_1} + {h_2} = {{{a^2}} \over b}\)

$S = 2\left( {{h_1} + {h_2}} \right) = {{2{a^2}} \over b}$