Câu 54 trang 166 bài tập SBT môn Toán 8 tập 1: Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy tính...

Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN

Giải:                                                                        

Tứ giác ABMN có hai đường chéo vuông góc.

${S_{ABMN}} = {1 \over 2}AM.BN$

∆ ABM và ∆ AMC có chung chiều cao kẻ từ A cạnh đáy BM = MC

$\Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{AMC}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}$

∆ MAN và ∆ MNC có chung chiều cao kẻ từ M, cạnh đáy AN = NC

$\eqalign{  &  \Rightarrow {S_{MAN}} = {S_{MNC}} = {1 \over 2}{S_{AMC}} = {1 \over 4}{S_{ABC}}  \cr  & {S_{ABMN}} = {S_{ABM}} + {S_{MNA}} = {1 \over 2}{S_{ABC}} + {1 \over 4}{S_{ABC}} = {3 \over 4}{S_{ABC}}  \cr  &  \Rightarrow {S_{ABC}} = {4 \over 3}{S_{ABMN}} = {4 \over 3}.{1 \over 2}.AM.BN = {2 \over 3}AM.BN \cr}$