Bài tập 1 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC....

Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

a) Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi E là điểm đối xứng của M qua N. Chứng minh rằng tứ giác AECM là hình bình hành.

c) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AECM lần lượt là:

- Hình chữ nhật

- Hình thoi

- Hình vuông.

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC (gt) ;

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow MN//AC \Rightarrow$ Tứ giác MNAB là hình thang.

b) Tứ giác AECM có AC và ME cắt nhau tại N (gt)

N là trung điểm của AC (gt)

N là trung điểm của ME (E đối xứng với M qua N)

Do đó tứ giác AECM là hình bình hành.

c) Ta có tứ giác AECM là hình bình hành.

* Tứ giác AECM là hình chữ nhật $\Leftrightarrow$ Hình bình hành AECM có $\widehat {AMC} = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ có AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

$\Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại A.

Vậy tam giác ABC có thêm điều kiện là tam giác ABC cân tại A để tứ giác AEMC là hình chữ nhật.

* Tứ giác AECM là hình thoi $\Leftrightarrow$ Hình bình hành AECM có $AM = MC$.

$\Rightarrow \Delta ABC$ có AM là đường trung tuyến, $AM = {{BC} \over 2} \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.

Vậy tam giác ABC cần có thêm điều kiện là tam giác ABC vuông tại A để tứ giác AECM là hình thoi.

* Tứ giác AECM là hình vuông $\Leftrightarrow$ Hình chữ nhật AECM có $AM = MC \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại A.

Hình chữ nhật AECM có thêm điều kiện $\widehat {AMC} = {90^0}$

$\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.

Vậy tam ABC cần có thêm điều kiện là tam giác ABC vuông cân tại A để tứ giác AECM là hình vuông.