Bài tập 15 trang 70 Tài liệu dạy & học Toán 8 tập 2: Tam giác ABC có BC bằng 15 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I và K kẻ các đường EF // BC, MN // BC....

Tam giác ABC có BC bằng 15 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I và K kẻ các đường $EF // BC, MN // BC.$

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.

b) Tính diện tích tứ giác MNFE biết rằng diện tích tam giác ABC là 270 cm².

a) Ta có $AH = AK + KI + IH$ và $AK = KI = IH(gt)$

$\Rightarrow AH = 3AK \Rightarrow {{AK} \over {AH}} = {1 \over 3}$

∆ABH có $MK//BH(gt) \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}}$ (hệ quả của định lý Thales) $\Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {1 \over 3}$

∆ABC có $MN//BC(gt) \Rightarrow {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}}$ (hệ quả của định lý Thales)

$\Rightarrow {{MN} \over {BC}} = {1 \over 3}$

$\Rightarrow {{MN} \over {15}} = {1 \over 3}$

$\Rightarrow MN = {{15} \over 3} = 5(cm)$

∆AEI có MK // EI (gt)

Và K là trung điểm của AI (AK = KI)

=> M là trung điểm của AE

Xét ∆AEF có MN // EF (gt)

$\Rightarrow {{MN} \over {EF}} = {{AM} \over {AE}}$ (hệ quả của định lý Thales)

Mà ${{AM} \over {AE}} = {1 \over 2}$ (M là trung điểm của AE)

Nên

$\eqalign{  & {{MN} \over {EF}} = {1 \over 2}\cr& \Rightarrow {5 \over {EF}} = {1 \over 2} \cr&\Rightarrow EF = 10(cm)  \cr  & b)\;{S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC\cr& \Rightarrow 270 = {1 \over 2}.AH.15 \cr&\Rightarrow AH = {{270.2} \over {15}} = 36(cm) \cr}$

Ta có AH = 3AK (câu a) và AK = KI (gt)

Do đó $AH = 3KI$

$\Rightarrow KI = \dfrac{AH}{ 3} = \dfrac{36}{3} = 12(cm)$

${S_{MNFE}} = \dfrac{1 }{ 2}KI(MN + EF)$$\,= \dfrac{1 }{2}.12(5 + 10) = 90(c{m^2})$