Bài tập 20 trang 71 Dạy & học Toán 8 tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G. Chứng minh rằng:...

Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G. Chứng minh rằng:

$\eqalign{  & a)\,\,A{E^2} = EK.EG  \cr  & b)\,\,{1 \over {AE}} = {1 \over {AK}} + {1 \over {AG}} \cr}$

a) Xét ∆DEG có $DG//AB(DC//AB,G \in DC)$

$\Rightarrow {{AE} \over {EG}} = {{EB} \over {ED}}$ (hệ quả của định lý Thales) (1)

Xét ∆ADE có $BK//AD(BC//AD,K \in BC)$

$\Rightarrow {{EB} \over {ED}} = {{EK} \over {AE}}$ (hệ quả của định lý Thales) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${{AE} \over {EG}} = {{EK} \over {AE}} \Rightarrow A{E^2} = EK.EG$

b) Ta có $EK.EG = A{E^2}$ (câu a) $\Rightarrow {{EK} \over {AE}} = {{AE} \over {EG}} \Rightarrow {{EK} \over {AE}} = {{EK + AE} \over {AE + EG}} = {{AK} \over {AG}}$

Ta có ${{EK} \over {AE}} = {{AK} \over {AG}} \Rightarrow {{AK - AE} \over {AE}} = {{AK} \over {AG}}$

$\Rightarrow {{AK} \over {AE}} - 1 = {{AK} \over {AG}}$

$\Rightarrow {1 \over {AE}} - {1 \over {AK}} = {1 \over {AG}}$

Vậy ${1 \over {AE}} = {1 \over {AK}} + {1 \over {AG}}$