Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G. Chứng minh rằng:
\(\eqalign{ & a)\,\,A{E^2} = EK.EG \cr & b)\,\,{1 \over {AE}} = {1 \over {AK}} + {1 \over {AG}} \cr} \)
a) Xét ∆DEG có \(DG//AB(DC//AB,G \in DC)\)
\( \Rightarrow {{AE} \over {EG}} = {{EB} \over {ED}}\) (hệ quả của định lý Thales) (1)
Xét ∆ADE có \(BK//AD(BC//AD,K \in BC)\)
\( \Rightarrow {{EB} \over {ED}} = {{EK} \over {AE}}\) (hệ quả của định lý Thales) (2)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1) và (2) suy ra \({{AE} \over {EG}} = {{EK} \over {AE}} \Rightarrow A{E^2} = EK.EG\)
b) Ta có \(EK.EG = A{E^2}\) (câu a) \( \Rightarrow {{EK} \over {AE}} = {{AE} \over {EG}} \Rightarrow {{EK} \over {AE}} = {{EK + AE} \over {AE + EG}} = {{AK} \over {AG}}\)
Ta có \({{EK} \over {AE}} = {{AK} \over {AG}} \Rightarrow {{AK – AE} \over {AE}} = {{AK} \over {AG}} \)
\(\Rightarrow {{AK} \over {AE}} – 1 = {{AK} \over {AG}}\)
\(\Rightarrow {1 \over {AE}} – {1 \over {AK}} = {1 \over {AG}}\)
Vậy \({1 \over {AE}} = {1 \over {AK}} + {1 \over {AG}}\)