Bài tập 19 trang 71 Tài liệu dạy & học Toán 8 tập 2: Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O...

Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD ở F.

a) Chứng minh FE // BD.

b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với Ab, AD cắt BD, CD lần lượt tại G và H.

Chứng minh: CG.DH = BG.CH

a) ∆ABC có OE // BC (gt)

$\Rightarrow {{AE} \over {AB}} = {{AO} \over {AC}}$ (định lý Thales) (1)

∆ADC có OF // CD (gt)

$\Rightarrow {{AO} \over {AC}} = {{AF} \over {AD}}$ (định lý Thales) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${{AE} \over {AB}} = {{AF} \over {AD}}$

∆ADB có ${{AE} \over {AB}} = {{AF} \over {FD}} \Rightarrow EF//BD$ (định lý Thales đảo)

b) ∆ABC có OG // AB (gt) $\Rightarrow {{CG} \over {BG}} = {{CO} \over {AO}}$ (định lý Thales) (3)

∆ACD có OH // AD (gt) $\Rightarrow {{CO} \over {AO}} = {{CH} \over {DH}}$ (định lý Thales) (4)

Từ (3) và (4) suy ra ${{CG} \over {BG}} = {{CH} \over {DH}} \Rightarrow CG.DH = BG.CH$