Bài tập 21 trang 91 Tài liệu dạy & học Toán 8 tập 2: Cho tam giác ABC vông tại A có đường cao AH. Từ một điểm I trên AH kẻ đường thẳng song song cới BC cắt cạnh AB ở D, cắt AC...

Cho tam giác ABC vông tại A có đường cao AH. Từ một điểm I trên AH kẻ đường thẳng song song cới BC cắt cạnh AB ở D, cắt AC ở E. Biết ${{AI} \over {AH}} = {1 \over 3}$

a) Chứng minh rằng tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.

b) Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác ADE và ABC.

c) Biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác ADE.

a) Xét ∆ADE và ∆ABC có: $\widehat A$ (chung) và $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$ (hai góc đồng vị và DE // BC)

$\Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC(g.g)$

b) ∆ABH có DI // BH (gt) $\Rightarrow {{AD} \over {AB}} = {{AI} \over {AH}} = {1 \over 3}$ (định lý Thales)

$\Delta ADE \sim \Delta ABC$ (câu a) $\Rightarrow {{AD} \over {AB}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {BC}} = {1 \over 3}$

Tỉ số đồng dạng của hai tam giác là ${1 \over 3}$

$\eqalign{  & c){S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.9.12 = 54(c{m^2})  \cr  & \Delta ADE \sim \Delta ABC\cr& \Rightarrow {{{S_{ADE}}} \over {{S_{ABC}}}} = {k^2} = {1 \over 9}\cr& \Rightarrow {{{S_{ADE}}} \over {54}} = {1 \over 9} \cr&\Rightarrow {S_{ADE}} = {1 \over 9}.54 = 6(c{m^2}) \cr}$