Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H∈BC)
a) Chứng minh rằng AB2 = BH.BC.
b) Vẽ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với BC. Chứng minh rằng HB.HC = AM.AB.
c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC ở E. Chứng minh rằng EM.EN = EB.EC.
d) Chứng minh rằng tam giác BMN đồng dạng với tam giác MHC.
a) Xét ∆ABH và ∆ABC có: góc B (chung) và ^AHB=^BAC(=90∘)
Do đó ΔABH∼ΔCBA(g.g)
⇒ABBC=BHAB
⇒AB2=BH.BC
b) Xét ∆ABH và ∆AHC có:
^BAH=^ACH (cùng phụ với góc B)
Và ^AHB=^AHC(=90∘)
Do đó ΔABH∼ΔCAH(g.g)
⇒AHHC=BHAH
⇒AH2=BH.HC(1)
Xét ∆AMH và ∆ABH có: ^MAH (chung) và ^AMH=^AHB(=90∘)
Do đó ΔAMH∼ΔAHB(g.g)
⇒AHAB=AMAH
⇒AH2=AM.AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra: HB.HC=AM.AB
c) Xét ∆AHN và ∆AHC có: góc HAN chung và ^ANH=^AHC(=90∘)
Do đó ΔAHN∼ΔAHC(g.g)
Advertisements (Quảng cáo)
⇒AHAC=ANAH
⇒AH2=AN.AC
Mà AH2=AM.AB (câu b) nên AN.AC=AM.AB⇒ANAB=AMAC
Xét ∆AMN và ∆ABC có: ANAB=AMAC và ^MAN(chung)
Do đó ΔAMN∼ΔACB(c.g.c)
⇒^AMN=^ACB
Mà ^AMN=^EMB (đối đỉnh) nên ^ACB=^EMB
Xét ∆ENC và ∆EBM ta có: ^MEB (chung) và ^NCB=^EMB (chứng minh trên)
Do đó ΔENC∼ΔEBM(g.g)
⇒ENEB=ECEM.
Vậy EN.EM=EB.EC
d) Xét tứ giác AMHN có: ^MAN=90∘ (∆ABC vuông tại A),
^AMH=90∘(MH⊥AB tại M) và ^ANH=90∘(NH⊥AC tại N)
Do đó tứ giác AMHN là hình chữ nhật => MN = AH
Xét ∆BMH và ∆AHC có: ^BMH=^AHC(=90∘) và ^MHB=^ACH (hai góc so lê trong và MH // AC)
Do đó ΔBMH∼ΔAHC(g.g)
⇒BMAH=MHHC⇒BMMH=AHHC
Mà AH = MN nên BMMH=MNHC
Ta có: ^BMN+^AMN=180∘ (hai góc kề bù)
^MHC+^MHB=180∘ (hai góc kề bù)
Và ^AMN=^MHB(=^ACB)
⇒^BMN=^MHC
Xét ∆BMN và ∆MHC có: BMMH=MNHC và ^BMN=^MHC
Do đó ΔBMN∼ΔMHC(c.g.c)