Bài tập 26 trang 92 Dạy & học Toán 8 tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc B cắt AC ở E, cắt AH ở F....

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc B cắt AC ở E, cắt AH ở F.

a) Chứng minh rằng AB.HF = AE.HB.

b) Chứng minh rằng AE = AF.

c) Chứng minh rằng AE² = EC.FH.

d) Cho biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác BHF.

a) Xết ∆ABE và ∆BHF có:

$\widehat {BAE} = \widehat {BHF}( = 90^\circ )$

Và $\widehat {ABE} = \widehat {FBH}$ (BE là tia phân giác của góc B)

Do đó $\Delta ABE \sim \Delta HBF(g.g)$

$\Rightarrow {{AB} \over {HB}} = {{AE} \over {HF}} \Rightarrow AB.HF = AE.HB$

b) Ta có $\widehat {AEF} = \widehat {HFB}$ (vì $\Delta ABE \sim \Delta HBF)$

Và $\widehat {HFB} = \widehat {AFE}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {AFE} \Rightarrow \Delta AEF$ cân tại A $\Rightarrow AE = AF$

c) Xét ∆ABH và ∆ABC có: góc B (chung) và $\widehat {AHB} = \widehat {BAC}( = 90^\circ )$

Do đó $\Delta ABH \sim \Delta CBA(g.g)$

$\Rightarrow {{AB} \over {BC}} = {{BH} \over {AB}}$

$\Rightarrow {{BC} \over {AB}} = {{AB} \over {BH}}(1)$

∆ABC có BE là đường phân giác (gt) nên ${{EC} \over {AE}} = {{BC} \over {AB}}(2)$

∆ABH có BF là đường phân giác (gt) nên ${{AF} \over {FH}} = {{AB} \over {BH}}(3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ${{EC} \over {AE}} = {{AF} \over {FH}} \Rightarrow AE.AF = EC.FH$

Mà AF = AE (câu b) $\Rightarrow AE.AE = EC.FH \Rightarrow A{E^2} = EC.FH$
d) ∆ABC vuông tại A có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (định lí Py-ta-go)

$\Rightarrow B{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 \Rightarrow BC = 15(cm)$

Ta có $AH.BC = AB.AC( = 2{S_{ABC}})$

$\Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{9.12} \over {15}} = 7,2(cm)$

∆HAB vuông tại H $\Rightarrow A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}$ (định lý Py-ta-go)

Do đó $B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {9^2} - 7,{2^2} = 5,{4^2}$

$\Rightarrow BH = 5,4(cm)$

∆ABH có BF là đường phân giác

$\Rightarrow {{FH} \over {AF}} = {{BH} \over {AB}}$

$\Rightarrow {{FH} \over {BH}} = {{AF} \over {AB}} = {{FH + AF} \over {BH + AB}} = {{AH} \over {BH + AB}}$

Nên ${{FH} \over {5,4}} = {{7,2} \over {5,4 + 9}}$

$\Rightarrow FH = 2,7(cm)$

Do vậy ${S_{BHF}} = {1 \over 2}FH.BH = {1 \over 2}.2,7.5,4 = 7,29(c{m^2})$