Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M và N là trung điểm của AH và BH.
a) Chứng minh rằng tam giác HMN và tam giác HAB đồng dạng
b) Chứng minh rằng HM.HA = HN.HC.
c) Chứng minh rằng tam giác AHN đồng dạng với tam giác AHM.
d) Gọi K là giao điểm của MN với AC, I là giao điểm CN với AN. Chứng minh KM là tia phân giác của góc IKH.
a) M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH (gt)
=> MN là đường trung bình của ∆ABH => MN // AB
Xét ∆HMN và ∆HAB có: ^MHN (chung)
Và ^NMH=^BAH (hai góc đồng vị và MN // AB)
Do đó ΔHMN∼ΔHAB(g.g)
b) Ta có: ^ABC=^HAC (cùng phụ với góc C)
Và ^ABC=^MNH (hai góc đồng vị và MN // AB) ⇒^HAC=^MNH
Xét ∆HAC và ∆HNM có: ^HAC=^MNH và ^AHC=^MHN(=90∘)
Do đó ΔHAC∼ΔHNM(g.g)
⇒HAHN=HCHM
⇒HM.HA=HN.HC
Advertisements (Quảng cáo)
c) Xét ∆ANH và ∆MHC có: AHCH=HNHM (vì HM.HA=HN.HC)
Và ^AHN=^MHC(=90∘)
⇒ΔANH∼ΔCMH(c.g.c)
d) Ta có MN // AB, AB⊥AC⇒MN⊥AC
∆ANC có AH, NK là hai đường cao cắt nhau tại M
=> M là trực tâm của tam giác ANC
=> CM là đường cao của tam giác ANC ⇒CM⊥AN
Xét ∆AKN và ∆AIC có: ^KAN (chung) và ^AKN=^AIC(=90∘)
Do đó ΔAKN∼ΔAIC(g.g)
⇒AKAI=ANAC
⇒AKAN=AIAC
Xét ∆AKI và ∆ABC có: AKAN=AIAC,^KAI(chung)
Do đó ΔAKI∼ΔANC(c.g.c)
⇒^AKI=^ANC
Tương tự ΔCKH∼ΔCNA⇒^CKH=^ANC
Ta có ^AKI=^CKH(=^ANC) mà ^AKI+^MKI=^CKM+^MKH(=90∘)
Do đó ^MKI=^MKH⇒KM là tia phân giác của góc IKH