Bài tập 24 trang 92 Tài liệu dạy & học Toán lớp 8 tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau ở H....

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau ở H.

a) Chứng minh AE.AC = AF.AB

b) Chứng minh $\Delta AEF \sim \Delta ABC.$

c) Chứng minh $\Delta HEF \sim \Delta HCB.$

d) Phân giác của góc BAC lần lượt cắt EF tại I, cắt BC tại K.

Chứng minh ${{IE} \over {IF}} = {{KB} \over {KC}}$

a) Xét ∆ABE và ∆ACF có góc A (chung) và $\widehat {AEB} = \widehat {AFC}( = 90^\circ )$

Do đó $\Delta ABE \sim \Delta ACF(g.g) \Rightarrow {{AE} \over {AF}} = {{AB} \over {AC}}$

=> AE.AC = AF.AB

b) Ta có: ${{AE} \over {AF}} = {{AB} \over {AC}} \Rightarrow {{AE} \over {AB}} = {{AF} \over {AC}}$

Xét ∆AEF và ∆ABC có

${{AE} \over {AB}} = {{AF} \over {AC}}$ và góc EAF (chung)

Do đó $\Delta AEF \sim \Delta ABC(c.g.c)$

c) Ta có $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}(\Delta AEF \sim \Delta ABC)$

Mà $\widehat {AEF} + \widehat {HEF} = \widehat {AEB} = 90^\circ$ và $\widehat {ABC} + \widehat {HCB} = 90^\circ$ (∆FBC vuông tại F)

Do đó $\widehat {HEF} = \widehat {HCB}$

Xét ∆HEF và ∆HCB có $\widehat {HEF} = \widehat {HCB};\widehat {EHF} = \widehat {BHC}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta HEF \sim \Delta HCB(g.g)$

d) ∆AEF có AI là đường phân giác (gt) nên ${{IE} \over {IF}} = {{AE} \over {AF}}$

∆ABC có AK là đường phân giác (gt) $\Rightarrow {{KB} \over {KC}} = {{AB} \over {AC}}$

Ta có: ${{IE} \over {IF}} = {{AE} \over {AF}};{{KB} \over {KC}} = {{AB} \over {AC}}$ và ${{AE} \over {AF}} = {{AB} \over {AC}}$ (câu a) $\Rightarrow {{IE} \over {IF}} = {{KB} \over {KC}}$