Bài tập 23 trang 92 Tài liệu dạy & học Toán 8 tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH...

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH $\left( {H \in BC} \right)$. Vẽ $HM \bot AB,\,\,HN \bot AC\,\,$$\left( {M \in AB,\,\,N \in AC} \right)$

a) Chứng minh rằng $\Delta AMH \sim \Delta AHB.$ Suy ra AH² = AM.AB.

b) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

c) Chứng minh $\Delta ANM \sim \Delta ABC.$

d) Gọi O là giao điểm của AH với MN. Chứng minh OA.OH = OM.ON.

a) Xét ∆AMH và ∆AHB có: $\widehat {MAH}$ chung và $\widehat {AMH} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )$

Do đó $\Delta AMH \sim \Delta AHB(g.g) \Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AM} \over {AH}}$

$\Rightarrow A{H^2} = AM.AB(1)$

b) Xét ∆AHN và ∆AHC có:

$\widehat {HAN}$ chung và $\widehat {ANH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )$

$\Rightarrow \Delta AHN \sim \Delta ACH(g.g)$

$\Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AN} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AN.AC(2)$

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC

c) Xét ∆ANM và ∆ABC có: ${{AM} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}$ (vì AM.AB = AN.AC) và góc MAN (chung)

Do đó $\Delta ANM \sim ABC(c.g.c)$

d) Ta có $\widehat {AMN} = \widehat {ACB}(\Delta ANM \sim \Delta ABC)$ và $\widehat {AHN} = \widehat {ACB}(\Delta AHN \sim \Delta ACH)$

$\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AHN}\,hay\,\widehat {AMO} = \widehat {OHN}$

Xét ∆AMO và ∆OHN có $\widehat {AOM} = \widehat {NOH}$ (đối đỉnh) và $\widehat {AMO} = \widehat {OHN}$

Do đó $\Delta AMO \sim \Delta NHO(g.g)$

$\Rightarrow {{OA} \over {ON}} = {{OM} \over {OH}}$

$\Rightarrow OA.OH = OM.ON$