Luyện tập 5 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD vó AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF...

Cho hình bình hành ABCD với AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì ?

b) Tam giác EMC là tam giác gì ?

c) Chứng minh : $\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}$ .

HD: b) MF // DC suy ra F là trung điểm của EC.

c) $\widehat {AEM} = \widehat {EMN} = \widehat {NMC} = \widehat {MCD} = {1 \over 2}\widehat {NCD}$ .

a) Ta có $MN \bot CE\,\,\left( {gt} \right);\,\,AB \bot CE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow MN//AB$

Mà AB // CD (ABCD là hình bình hành) nên MN // CD

Tứ giác MNCD có MN // CD

Và MD // CN (AD // BC, $M \in AD,\,\,N \in BC$)

Do đó tứ giác MNCD là hình bình hành.

b) Gọi F là giao điểm của MN và EC

Hình thang AECD (EC // CD) có $MF // AE // CD$

Và M là trung điểm của AD (gt)

$\Rightarrow F$ là trung điểm của EC.

$\Delta MEC$ có MF là đường trung tuyến (F là trung điểm của EC)

Và MF là đường cao $\left( {MF \bot EC} \right) \Rightarrow \Delta MEC$ cân tại M.

c) Ta có $AD = 2AB\,\,\left( {gt} \right)$

$AD = 2MD$ (M là trung điểm của AD)

Và $AB = CD$ (ABCD là hình bình hành) $\Rightarrow MD = CD$.

Hình bình hành MNCD có $MD = CD$ nên là hình thoi.

$\Rightarrow CM$ là đường phân giác $\Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {CMF}$

Mà $\widehat {EMF} = \widehat {AEM}$ (hai góc so le trong và AE // MF)

Và $\widehat {CMF} = \widehat {MCD}$ (hai góc so le trong và MF // CD)

Nên $\widehat {AEM} = \widehat {MCD}$

Ta có $\widehat {AEM} = \widehat {MCD};\,\,2\widehat {MCD} = \widehat {NCD}$ (CM là tia phân giác của $\widehat {NCD}$)

Và $\widehat {NCD} = \widehat {BAD}$ (ABCD là hình bình hành) $\Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {BAD}$.