Luyện tập 4 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao...

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE.

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Tứ giác AEFD là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông.

a) Ta có $AE = EB = {{AB} \over 2}$ (E là trung điểm của AB),

$DF = FC = {{CD} \over 2}$ (F là trung điểm của CD)

Và $AB = CD$ (ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow AE = CF = EB = DF$

Tứ giác AECF có AE // CF (AB // CD, $E \in AB,\,\,F \in CD$) và $AE = CF$

$\Rightarrow AECF$ là hình bình hành.

b) Ta có : $AB = 2AD\,\,\left( {gt} \right)$  và $AB = 2AE$  (E là trung điểm của AB) \) \Rightarrow AD = AE\)

Tứ giác AEFD có AE // DF và $AE = DF$ (chứng minh câu a)

$\Rightarrow$ Tứ giác AEFD là hình bình hành

Mà $AE = AD$ (chứng minh trên) nên AEFD là hình thoi.

c) Ta có $AF \bot DE$ tại I (AEFD là hình bình hành)

Và $AF//EC$ (AECF là hình bình hành) $\Rightarrow EC \bot DE \Rightarrow \widehat {IEK} = {90^0}$

Ta có $EF = AE$ (AEFD là hình thoi)

Và $AE = {1 \over 2}AB$ (E là trung điểm của AB) $\Rightarrow EF = {1 \over 2}AB$

$\Delta AFB$ có FE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AB) và $EF = {1 \over 2}AB$.

$\Rightarrow \Delta AFB$ vuông tại F $\Rightarrow \widehat {IFK} = {90^0}$

Tứ giác EIFK có :

$\widehat {EIF} = {90^0}$ ($IE \bot IF$ tại I)

$\eqalign{  & \widehat {IEK} = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)  \cr  & \widehat {IFK} = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right) \cr}$

Do đó tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d) Ta có tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

I là trung điểm của ED (tứ giác AEFD là hình bình hành)

Tương tự K là trung điểm của EC.

Do đó IK là đường trung bình của tam giác ECD $\Rightarrow IK \bot CD$

Mặt khác AD // EF (tứ giác AEFD là hình bình hành)

Do đó tứ giác EIFK là hình vuông.

$\Leftrightarrow$ Hình chữ nhật EIFK có $IK \bot EF \Leftrightarrow IK \bot AD \Leftrightarrow AD \bot CD$

$\Leftrightarrow$ Hình bình hành ABCD có $\widehat {ADC} = {90^0}$

Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD là $\widehat {ADC} = {90^0}$ để tứ giác EIFK là hình vuông.