Luyện tập 2 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác ABC cân tại A. Họ H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB....

Cho tam giác ABC cân tại A. Họ H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHC là hình thang.

b) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. CHứng minh rằng tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

c) Tia CD cắt AH ở M và cắt BE ở N. Chứng minh tứ giác AMBN là hình bình hành.

a) Ta có D, H lần lượt là trung điểm của AB và BC.

$\Rightarrow DH$ là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow DH//AC \Rightarrow$ Tứ giác ADHC là hình thang.

b) $\Delta ABC$ cân tại A có AH là đường trung tuyến (H là trung điểm của BC)

$\Rightarrow AH$ là đường cao của tam giác ABC.

$\Rightarrow AH \bot BC$ tại H.

Tứ giác AHBE có AB và EH cắt nhau tại D (gt)

D là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của EH (E là điểm đối xứng với H qua D),

$\widehat {NED} = \widehat {DHM}$ (hai góc so le trong và EB // AH)

Và $\widehat {EDN} = \widehat {HDM}$ (hai góc đối đỉnh), do đó $\Delta END = \Delta HDM\,\,\left( {g.c.g} \right)$

$\Rightarrow ND = MD \Rightarrow D$ là trung điểm của NB $\left( {D \in NM} \right)$

Mặt khác D là trung điểm của AB (gt) và NM, AB cắt nhau tại D (gt)

Do đó tứ giác AMBN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)