Luyện tập 7 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD. Lấy E, F trên AC sao cho AE = EF = FC....

Cho hình bình hành ABCD. Lấy E, F trên AC sao cho AE = EF = FC.

a) Chứng minh rằng tứ giác BEDF là hình bình hành.

b) Gọi M là giao điểm của BC avf DF. Chứng minh rằng $FM = {1 \over 2}FD$ .

c) Gọi I là giao điểm của CD và BF, J là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng ba điểm I, O, J thẳng hàng.

a) O là giao điểm của AC và BD.

Tứ giác ABCD là hình bình hành (gt)

$\Rightarrow O$ là trung điểm của AC và BD $\Rightarrow OA = OC$.

$\Rightarrow OA - AE = OC - FC$ (vì $AE = FC$)

$\Rightarrow EO = FO \Rightarrow O$ là trung điểm của EF.

Tứ giác DEBF có DB cắt EF tại O.

O là trung điểm của DB và O là trung điểm của EF.

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành.

b) $\Delta EBC$ có EB // FM (EB // DF, $M \in DF$) và F là trung điểm của EC $\left( {EF = FC} \right)$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của BC.

$\Delta DBC$ có DM cắt AC tại F (gt),

DM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC)

Và CO là đường trung tuyến (O là trung điểm của DB)

$\Rightarrow F$ là trọng tâm của tam giác DBC.

$\Rightarrow MF = {1 \over 3}DM$ và $FD = {2 \over 3}DM \Rightarrow {{MF} \over {FD}} = {{{1 \over 3}DM} \over {{2 \over 3}DM}} = {1 \over 2} \Rightarrow MF = {1 \over 2}FD$.

c) Tứ giác JBID có DJ // BI (DE // BF, $J \in DE,I \in BF$)

và $JB//DI\,\,\left( {AB//CD,\,\,J \in AB,\,\,I \in CD} \right)$

Do đó tứ giác JBID là hình bình hành

$\Rightarrow JI$ cắt DB tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của DB (câu a) nên O là trung điểm của JI.

Vậy I, O, J thẳng hàng.