Bài 26 trang 9 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao: Cho khối hộp...

Cho khối hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, góc $\widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAD} = \widehat {{A_1}AD}= \alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right).$Hãy tính thể tích của khối hộp.

(h.9)

Hạ ${A_1}H \bot AC(H \in AC)\left(  *  \right).$

Tam giác A₁BD cân ( do ${A_1}B = {A_1}D)$ suy ra $BD \bot {A_1}O$. Mặt khác

$\eqalign{  & BD \bot AC  \cr  &  \Rightarrow BD \bot \left( {{A_1}AO} \right) \Rightarrow BD \bot {A_1}H\left( { *  * } \right). \cr}$

Từ $\left(  *  \right)$ và $\left( { *  * } \right) \Rightarrow {A_1}H \bot \left( {ABCD} \right).$

Đặt  $\widehat {{A_1}AO} = \varphi .$ Ta có hệ thức :

$\cos \alpha  = cos\varphi .cos{\alpha  \over 2}$

Thật vậy, hạ ${A_1}K \bot AD \Rightarrow HK \bot AK$ (định lý ba đường vuông góc )

$\Rightarrow \cos \varphi .cos{\alpha  \over 2} = {{AH} \over {A{A_1}}}.{{AK} \over {AH}} = {{AK} \over {A{A_1}}} = \cos \alpha .$

Từ đẳng thức trên ta suy ra : $cos\varphi  = {{cos\alpha } \over {cos{\alpha  \over 2}}}.$

Do đó

${A_1}H = a.\sin \varphi  = a\sqrt {1 - {{{{\cos }^2}_\alpha } \over {co{s^2}{\alpha  \over 2}}}}$

          $= {a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {{{\cos }^2}_{{\alpha  \over 2}} - co{s^2}_\alpha } .$

$\eqalign{  & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.\sin \alpha .{A_1}H \cr&= {a^2}.\sin a.{a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha }   \cr  &  = 2{a^3}\sin {\alpha  \over 2}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha } . \cr}$