Bài 27 trang 9 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho khối hộp...

Cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$có đáy là hình chữ nhật với $AB = \sqrt 3$, $AD = \sqrt 7$. Hai mặt bên $\left( {ABB’A’} \right)$ và $\left( {ADD’A’} \right)$ lần lượt tạo với đáy những góc 45⁰ và 60⁰. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

(h.10)

Kẻ $\eqalign{  & A’H \bot \left( {ABCD} \right)\left( {H \in \left( {ABCD} \right)} \right),  \cr  & HM \bot AD\left( {M \in AD} \right),HK \bot AB\left( {K \in AB} \right). \cr}$

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có

$AD \bot A’M,AB \bot A’K$

$\Rightarrow \widehat {A’MH} = {60^0},\;\widehat {A’KH} = {45^0}$ 

Đặt $A’H = x$. Khi đó

$A’H = x;\sin {60^0} = {{2 x } \over\sqrt 3}.$

$\eqalign{  & AM = \sqrt {A'{A^2} - A'{M^2}}  = \sqrt {{{3 - 4{x^2}} \over 3}}  = HK.  \cr  &  \cr}$

Nhưng $HK = x\cot {45^0} = x,$

suy ra $x = \sqrt {{{3 - 4{x^2}} \over 3}}  \Rightarrow x = \sqrt {{3 \over 7}.}$

Vậy ${V_{ABCD.A’B’C’D’}} = AD.AB.x = \sqrt 7 .\sqrt 3 .\sqrt {{3 \over 7}}  = 3.$