Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 42 trang 11 Sách BT Hình 12 Nâng cao: Cho đường...

Bài 42 trang 11 Sách BT Hình 12 Nâng cao: Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng...

Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng . Bài 42 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Bài 4. Thể tích của khối đa diện

Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với \(mp\left( P \right)\) tại A, lấy một điểm S. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để tính thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM.

(h.27)

\(\eqalign{  & MB \bot AM,MB \bot SA  \cr  &  \Rightarrow MB \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow MB \bot AH(1)  \cr  & SB \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow SB \bot AH.(1) \cr} \)

Từ (1) và (2) suy ra \(\eqalign{  & AH \bot \left( {SMB} \right) \Rightarrow AH \bot SM,AH \bot HK.  \cr  & {V_{S.AHK}} = {1 \over 3}{S_{AHK}}.SK = {1 \over 6}AH.KH.SK. \cr} \)

Vì \(SK\) cố định nên :

\({V_{S.AHK}}\max  \Leftrightarrow \left( {AH.KH} \right)\max  \)

\(\Leftrightarrow \left( {A{H^2}.K{H^2}} \right)\max  \Leftrightarrow A{H^2} = K{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}\)

Advertisements (Quảng cáo)

( vì \(A{H^2} + H{K^2} = A{K^2}\) không đổi).

Vậy ta chỉ cần xác định vị trí điểm M thỏa mãn điều kiện \(A{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}.\left(  *  \right)\)

Đặt \(\widehat {MAB}\) =x,SA=h, AB=2R. Ta có

\(\eqalign{  & A{K^2} = {{S{A^2}.A{B^2}} \over {S{B^2}}} = {{4{R^2}{h^2}} \over {4{R^2} + {h^2}}},  \cr  & AM = 2R{\mathop{\rm cosx}\nolimits} ,  \cr  & A{H^2} = {{S{A^2}.A{M^2}} \over {S{M^2}}} = {{4{h^2}{R^2}{{\cos }^2}x} \over {{h^2} + 4{R^2}{{\cos }^2}x}}. \cr} \)

Từ \(\left(  *  \right)\) ta suy ra : \({\cos ^2}x = {{{h^2}} \over {2\left( {{h^2} + 2{R^2}} \right)}} < {1 \over 2}.\)

Từ đây ta xác định được x, tức là xác định được vị trí điểm M (có hai vị trí của điểm M ).

Từ \({\cos ^2}x < {1 \over 2}\) suy ra \({\mathop{\rm cosx}\nolimits}  < {{\sqrt 2 } \over 2} = \cos {45^0} \Rightarrow x > {45^0}  \).

Vậy cung BM lớn hơn cung AM

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: