Bài 74 trang 134 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9)...

a) Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) và $mp\left( \alpha  \right):2x - y + z + 1 = 0.$ Tìm tọa độ điểm M trên $\left( \alpha  \right)$ sao cho $\left| {MA - MB} \right|$ đạt giá trị lớn nhất.

b) Cho hai điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và $mp\left( \alpha  \right):x + y + z + 3 = 0.$ Tìm điểm M trên $\left( \alpha  \right)$ để $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

a) 

$\eqalign{ & P(A) = 2.3 - 1 + 0 + 1 = 6 \cr & P(B) = 2.( - 9) - 4 + 9 + 1 = - 12 \cr & P(A).P(B) = 6.\left( { - 12} \right) < 0 \cr}$

Do đó hai điểm A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng $(\alpha )$.

Gọi A’ là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng ($\alpha$), ta có :

$\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA’ - MB} \right| \le A’B$  (không đổi).

Dấu "=” xảy ra khi A’ nằm giữa hai điểm B, M hay M là giao điểm của đường thẳng A’B với mp($\alpha$).

Vậy bài toán được giải theo trình tự sau

* Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp($\alpha$),

 Ta tìm được A’ = (-1 ; 3 ; -2).

* Tìm giao điểm M của đường thẳng A’B với mp($\alpha$).

Đường thẳng A’B có phương trình: $\left\{ \matrix{  x =  - 1 + 8t \hfill \cr  y = 3 - t \hfill \cr  z =  - 2 - 11t. \hfill \cr}  \right.$

Toạ độ điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:

            $\left\{ \matrix{  x =  - 1 + 8t \hfill \cr  y = 3 - t \hfill \cr  z =  - 2 - 11t \hfill \cr  2x - y + z + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M = (7;2; - 13).$

Vậy $\left| {MA - MB} \right|$ lớn nhất khi $M = (7;2; - 13).$

b) Gọi I là trung điểm của đoạn $AB \Rightarrow I = (5;2;5).$

Ta có $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MI.$

Vậy $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ MI nhỏ nhất với I cố định và $M \in (\alpha ) \Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc với I trên mp($\alpha$).

Toa độ của $M(x;y;z)$ là nghiệm của hệ:

                    $\left\{ \matrix{  x = 5 + t \hfill \cr  y = 2 + t \hfill \cr  z = 5 + t \hfill \cr  x + y + z + 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow t =  - 5 \Rightarrow M = (0; - 3;0).$

Kết luận: $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|$ nhỏ nhất ${ = 2MI = 10\sqrt 3 }$ khi M= (0; -3; 0).