Câu 1.4 trang 10 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Hãy chứng minh rằng...

Hãy chứng minh rằng

a) Hàm số $y = \sqrt {2x - {x^2}}$ nghịch biến trên đoạn [1;2]

b)  Hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 9}$ đồng biến trên nửa khoảng  ${\rm{[}}3; + \infty )$

c) Hàm số $y = x + {4 \over x}$ nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2]

Giải

a) Hàm số liên tục trên đoạn [1;2] và có đạo hàm

                    $y’ = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }} < 0$ với mọi $x \in (1,2)$

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2]

b)  Hàm số liên tục trên nửa khoảng  ${\rm{[}}3; + \infty )$ và có đạo hàm

                    $y’ = {x \over {\sqrt {{x^2} - 9} }} > 0$ với mọi $x \in (3, + \infty )$

Do đó hàm dố đồng biến tên nửa khoảng ${\rm{[}}3; + \infty )$

c) TXĐ: $x\ne0$

$y’ = 1 - {4 \over {{x^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2$

BBT

Từ BBT ta có hàm số $y = x + {4 \over x}$ nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2]