Câu 1.5 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Chứng minh rằng...

Chứng minh rằng

a) Hàm số $y = {{3 - x} \over {2x + 1}}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số $y = {{2{x^2} + 3x} \over {2x + 1}}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

c) Hàm số $y =  - x + \sqrt {{x^2} + 8}$ nghịch biến trên $\mathbb R$ 

Giải

a) TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$

$y’ = {{ - 7} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D$

Do đó hàm số $y = {{3 - x} \over {2x + 1}}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$

$y’ = {{4{x^2} - 4x + 3} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D$

Do đó hàm số $y = {{2{x^2} + 3x} \over {2x + 1}}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

c) Vì $y’ =  - 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 8} }} < 0$ với mọi x nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$