Câu 1.7 trang 11 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Với các giá trị nào của m, hàm số...

Với các giá trị nào của m, hàm số

                                $y = x + 2 + {m \over {x - 1}}$

Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?

Giải

Ta có $y’ = 1 - {m \over {{{(x - 1)}^2}}}$ với mọi $x \ne 1$

- Nếu $m \le 0$ thì y’ > 0 với mọi $x \ne 1$ . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

- Nếu m > 0 thì

                                $y’ = {{{x^2} - 2x + 1 - m} \over {{{(x - 1)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt m$

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {1 - \sqrt m ;1} \right)$ và $\left( {1;1 + \sqrt m } \right)$.

Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn.

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác đinh của nó khi và chỉ khi $m \le 0$