Câu 1.6 trang 11 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Chứng minh rằng hàm số...

Chứng minh rằng hàm số $f(x) = x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x$ đồng biến trên $\mathbb R$

Giải

Ta có $f'(x) = 1 - \sin 2x\ge0\; \forall x$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1$                                                

Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {{\pi  \over 4} + k\pi ;{\pi  \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]$ và có đạo hàm $f'(x) > 0$ với mọi $x\in\left( {{\pi  \over 4} + k\pi ;{\pi  \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right),\;k\in\mathbb Z$

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {{\pi  \over 4} + k\pi ;{\pi  \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]\;k\in\mathbb Z$

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb R$