Chứng minh rằng hàm số . Câu 1.6 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao – Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\) đồng biến trên \(\mathbb R\)
Giải
Ta có \(f'(x) = 1 – \sin 2x\ge0\; \forall x\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1\)
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn \(\left[ {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]\) và có đạo hàm \(f'(x) > 0\) với mọi \(x\in\left( {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right),\;k\in\mathbb Z\)
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn \(\left[ {{\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + ( k+ 1)\pi } \right]\;k\in\mathbb Z\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)