Câu 2.48 trang 77 SBT Giải Tích Nâng cao lớp 12: Hãy chứng minh...

Hãy chứng minh

a)${\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} <  - 2;$           b)${4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}};$

c) ${\log _3}7 + {\log _7}3 > 2;$                d) ${3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}}.$

Giải

a) Ta có ${\log _{{1 \over 2}}}3 = {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}}$và${1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} + \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right| > 2$

( theo công thức đổi cơ số của lôgarit,bất đẳng thức Cô- si và ${1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} \ne \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|)$

Mặt khác, ${\log _3}{1 \over 2} < 0$ nên $- {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}} - {\log _3}{1 \over 2} > 2$, hay ${\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} <  - 2$

b) ${4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}} \Leftrightarrow {\log _4}{4^{{{\log }_5}7}} = {\log _4}{7^{{{\log }_5}4}}$

$\Leftrightarrow {\log _5}7 = {\log _5}4.{\log _4}7$.

Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .

c) Ta có   ${\log _3}7 > 0$,${\log _7}3 > 0$ và ${\log _3}7 = {1 \over {{{\log }_7}3}} \ne {\log _7}3$.

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

${1 \over {{{\log }_7}3}} + {\log _7}3 > 2$,suy ra ${\log _3}7 + {\log _7}3 > 2$.

d) ${3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _3}{3^{{{\log }_2}5}} = {\log _3}{5^{{{\log }_2}3}}$

$\Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5$.

Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .