Câu 4.45 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao:Cho số phức...

a) Cho số phức $\alpha  = a + bi\left( {a,b \in Z} \right)$ khác 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ sao cho $\bar \alpha z + \alpha \bar z$ (k là số thực cho trước) là một đường thẳng.

b) Tìm $\alpha$ và k trong câu a) để đường thẳng nói trên đi qua điểm biểu diễn số 2 và 3i.

Giải

a) Từ $\alpha  = a + ib,z = x + iy$  $(a,b,x,y \in R)$ nên

$\overline \alpha  z + \alpha \overline z  = k \Leftrightarrow ax + by = {k \over 2}$

b) Chọn $a = {1 \over 2},b = {1 \over 3}$ (tức  $\alpha  = {1 \over 2} + {1 \over 3}i$), k = 2 (không duy nhất).