Bài tập 10 trang 104 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA....

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh rằng: $\Delta ABD = \Delta EBD$ .

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng mình rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.

c) Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ ta có:

$AB = BE\,\,\left( {gt} \right)$

BD là cạnh chung

$\widehat {ABD} = \widehat {DBE}$ (BD là tia phân giác của góc B)

Do đó $\Delta ABD = \Delta EBD\,\,\left( {c.g.c} \right)$

b) Ta có : $\widehat {DEB} = \widehat {BAD}\,\,\left( {\Delta EBD = \Delta ABD} \right)$

Mà $\widehat {BAD} = {90^0}$ ($\Delta ABD$ vuông tại A)

Nên $\widehat {DEB} = {90^0} \Rightarrow DE \bot BC$

Mặt khác $AH \bot BC\,\,\left( {gt} \right)$ do đó DE // AH

$\Rightarrow$ Tứ giác ADEH là hình thang

Lại có $= {90^0}\,\,\left( {AH \bot BC} \right)$

Vậy tứ giác ADEH là hình thang vuông.

c) Ta có $BE = BA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BAE$ cân tại B.

Mà BD là tia phân giác của góc B. Do đó BD là đường cao của tam giác BAE.

$\Delta BAE$ có AH, BD là hai đường cao cắt nhau tại I $\Rightarrow I$ là trực tâm của tam giác BAE.

$\Rightarrow EF$ là đường cao của tam giác BAE

$\Rightarrow EF \bot AB$

Mà $AC \bot AB \Rightarrow EF//AC$

Vậy tứ giác ACEF là hình thang.

Mà $\widehat {CAF} = {90^0}$. Do đó tứ giác ACEF là hình thang vuông.