Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8.
Gọi hai số lẻ liên tiếp đó là \(2k + 1;\,\,2k + 3\) (với \(k \in Z\))
Hiệu các bình phương của hai số đó là:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & \,\,\,{\left( {2k + 3} \right)^2} - {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr & = \left[ {\left( {2k + 3} \right) - \left( {2k + 1} \right)} \right]\left[ {\left( {2k + 3} \right) + \left( {2k + 1} \right)} \right] \cr & = \left( {2k + 3 - 2k - 1} \right)\left( {2k + 3 + 2k + 1} \right) \cr & = 2\left( {4k + 4} \right) \cr & = 8\left( {k + 1} \right) \cr} \)
Vì \(8\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 8 nên \({\left( {2k + 3} \right)^2} - {\left( {2k + 1} \right)^2}\) chia hết cho 8.
Vậy hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8.