Luyện tập 6 trang 35 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8....

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8.

Gọi hai số lẻ liên tiếp đó là $2k + 1;\,\,2k + 3$ (với $k \in Z$)

Hiệu các bình phương của hai số đó là:

$\eqalign{  & \,\,\,{\left( {2k + 3} \right)^2} - {\left( {2k + 1} \right)^2}  \cr  &  = \left[ {\left( {2k + 3} \right) - \left( {2k + 1} \right)} \right]\left[ {\left( {2k + 3} \right) + \left( {2k + 1} \right)} \right]  \cr  &  = \left( {2k + 3 - 2k - 1} \right)\left( {2k + 3 + 2k + 1} \right)  \cr  &  = 2\left( {4k + 4} \right)  \cr  &  = 8\left( {k + 1} \right) \cr}$

Vì $8\left( {k + 1} \right)$ chia hết cho 8 nên ${\left( {2k + 3} \right)^2} - {\left( {2k + 1} \right)^2}$ chia hết cho 8.

Vậy hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8.