Bài tập 15 trang 104 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình thang cân ABCD (CD là đáy bé)...

Cho hình thang cân ABCD (CD là đáy bé) có $\widehat C + \widehat D = 2(\widehat A + \widehat B)$ . Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC.

a) Tính các góc của hình thang.

b) Chứng minh rằng AC là phân giác của góc $\widehat {DAB}$.

a) Tứ giác ABCD có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0}$ mà $\widehat C + \widehat D = 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right)$

Nên $\widehat A + \widehat B + 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {360^0} \Rightarrow 3\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {360^0} \Rightarrow \widehat A + \widehat B = {120^0}$

Mà $\widehat A = \widehat B$ (ABCD là hình thang cân)

Nên $\widehat B + \widehat B = {120^0} \Rightarrow 2\widehat B = {120^0} \Rightarrow \widehat B = {60^0}$.

Vậy $\widehat A = \widehat B = {60^0}$.

Ta có $\widehat A + \widehat D = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía và AB // CD)

$\Rightarrow {60^0} + \widehat D = {180^0} \Rightarrow \widehat D = {180^0} - {60^0} = {120^0}$

Mà $\widehat C = \widehat D$ (ABCD là hình thang cân). Nên $\widehat C = \widehat D = {120^0}$

b) Ta có $\widehat {BAC} + \widehat B = {90^0}$  ($\Delta ACB$ vuông tại C)

$\Rightarrow \widehat {BAC} + {60^0} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {30^0}$

$\widehat {DAC} = \widehat A - \widehat {BAC} = {60^0} - {30^0} = {30^0}$

$\Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {BAC} \Rightarrow AC$ là phân giác của góc DAB.