Bài tập 16 trang 104 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình thang cân ABCD (AB//CD)...

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có $\widehat {DBA} = {45^o}$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD.

a) Chứng minh rằng tam giác AOB là tam giác vuông cân.

b) Chứng minh rằng tam giác DOC vuông cân.

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ABC$ ta có:

AB là cạnh chung ;

$AD = BC$ (ABCD là hình thang cân) ;

$\widehat {ABD} = \widehat {BAC}$ (ABCD là hình thang cân)

Do đó $\Delta ABD = \Delta BAC\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {ABD} = {45^0}$ nên $\widehat {BAC} = {45^0}$.

$\Delta OAB$ có $\widehat {AOB} + \widehat {BAC} + \widehat {ABO} = {180^0}$

$\eqalign{  &  \Rightarrow \widehat {AOB} + {45^0} + {45^0} = {180^0}  \cr  &  \Rightarrow \widehat {AOB} = {180^0} - \left( {{{45}^0} + {{45}^0}} \right) = {90^0} \cr}$

$\Rightarrow \Delta AOB$ vuông tại O mà $\widehat {ABO} = \widehat {OAB}\,\,\left( { = {{45}^0}} \right)$

Vậy $\Delta AOB$ vuông cân tại O.

b) Ta có : $\widehat {DOC} = \widehat {AOB}$ (hai góc đối đỉnh) $\Rightarrow \widehat {DOC} = {90^0} \Rightarrow \Delta DOC$ vuông tại O.

Mà $\widehat {ODC} = {45^0}$ (vì $\widehat {ABO} = \widehat {ODC}$, 2 góc so le trong và AB // CD)

Do đó $\Delta ODC$ vuông cân tại O.