Bài tập 22 trang 105 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song...

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng:

a) EF = FB;

b) $AE = {1 \over 3}AB$

c) CE = 4EI.

a) Xét tam giác BEC có : MF // EC (gt)

Và M là trung điểm của BC (gt)

$\Rightarrow F$ là trung điểm của BE $\Rightarrow EF = BF$

b) Xét tam giác AMF có: EI // MF (gt)

Và I là trung điểm của AM (gt)

$\Rightarrow E$ là trung điểm của AF $\Rightarrow AE = EF$

Mà $EF = BF$ nên $AE = EF = BF \Rightarrow AE = {1 \over 3}AB$

c) Xét tam giác EBC ta có :

M là trung điểm của BC (gt) ;

F là trung điểm của BE ;

$\Rightarrow MF$ là đường trung bình của tam giác EBC $\Rightarrow MF = {1 \over 2}EC$

Xét $\Delta AMF$ ta có:

E là trung điểm của AF (gt);

I là trung điểm của AM (gt) ;

$\Rightarrow EI$ là đường trung bình của tam giác AMF

$\Rightarrow EI = {1 \over 2}MF$

Mà $MF = {1 \over 2}EC$

$\Rightarrow EI = {1 \over 2}.{1 \over 2}EC = {1 \over 4}EC \Rightarrow EC = 4EI$